โครงงาน

เรื่อง   ทฤษฎีรังนกพิราบ

นางสาวสุนันทา   ศรีสุข

โครงงานนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชานวัตกรรมและเทคโนโลยีสารสนเทศ

ภาคเรียนที่ 1 ปี การศึกษา 2557

มหาวิทยาลัยราชภัฏสุรินทร์

โครงงาน

เรื่อง   ทฤษฎีรังนกพิราบ

นางสาวสุนันทา   ศรีสุข

รหัสนักศึกษา 55181400143

สาขาวิชา  คณิตศาสตร์

โครงงานนี้เป็นส่วนหนึ่งของวิชานวัตกรรมและเทคโนโลยีสารสนเทศ

ภาคเรียนที่ 1 ปี การศึกษา 2557

มหาวิทยาลัยราชภัฏสุรินทร์

โครงงานคณิตศาสตร์

เรื่อง   ทฤษฎีรังนกพิราบ

ผู้จัดทำโครงงาน

นางสาวสุนันทา  ศรีสุข

รหัสนักศึกษา  55181400143

สาขาวิชา  คณิตศาสตร์

บทคัดย่อ

                 โครงงาน  ทฤษฎีรังนกพิราบ  (The Pigeonhole principle)  เป็นการใช้ความจริงในธรรมชาติซึ่งเกี่ยวกับนกพิราบและรังของนกพิราบ โดยกล่าวว่า  “ถ้ามีจำนวนนกพิราบมากกว่าจำนวนของรังนกพิราบแล้ว  จะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งรัง  ที่มีจำนวนนกพิราบอย่างน้อยสองตัว”  และหลักการรังนกพิราบนี้  มีชื่อเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า  “ Dirichlet drawer principle”  เนื่องจากหลักการนี้ถูกใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์  ชื่อ  P.G.L. Dirichlet (1805 – 1859)  ซึ่งจากหลักการนี้  สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา  และคาดการณ์เหตุการณ์ต่าง ๆ ได้  ซึ่งจากทฤษฎีกล่าวว่า  ถ้า  ให้  K €  I⁺    ถ้ามีนกพิราบอย่างน้อย  K+1  ตัว  บินเข้ารัง  K  รัง  แล้วจะมีรังอย่างน้อย  1  รัง ที่มีนกพิราบอย่างน้อย  2  ตัว  และจากหลักการนี้นำไปแก้ปัญหาและสถานการณ์ต่าง ๆ เช่น  มีจำนวนนักเรียนที่น้อยที่สุดที่เรียนคณิตศาสตร์แล้วแน่ใจได้ว่า  มีนักเรียนอย่างน้อยหกคนที่ได้เกรดเดียวกัน  โดยเกรดที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการเรียนวิชานี้  มีอยู่  5  เกรด  คือ  A , B , C , D และ  F  จากการใช้ทฤษฎีบทที่  2  จะได้ว่า  จำนวนนักเรียนที่น้อยที่สุดที่จะทำให้แน่ใจได้ว่าจะมีนักเรียนอย่างน้อย  6  คนที่ได้เกรดเดียวกัน  คือ  26  คน

                สรุปได้ว่า  ทฤษฎีรังนกพิราบ  เป็นอีกแนวคิดหนึ่งที่สามารถนำไปใช้แก้ปัญหา  คาดเดาสถานการณ์และพยากรณ์เหตุการณ์ต่าง ๆ ได้

กิตติกรรมประกาศ

        โครงงานคณิตศาสตร์ฉบับนี้สำเร็จอย่างสมบรูณ์ได้ด้วยการศึกษาค้นคว้าจากแหล่งเรียนรู้ต่างๆและเพื่อนร่วมชั้นเรียนที่ให้คำแนะนำที่ดีในการจัดทำโครงงานฉบับนี้และคอยชี้แนะแนวทางในการทำโครงงานในแหล่งที่หาข้อมูลของโครงงาน

นางสาวสุนันทา  ศรีสุข

สารบัญ

เรื่อง                                                                                                                                                            หน้า                                                                                             

บทที่1  บทนำ                                                                                                                                                  1

บทที่2  แนวคิดทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง                                                                                                                    4

บทที่3  วิธีดำเนินการ                                                                                                                                       6

บทที่4   ผลการดำเนินงาน                                                                                                                               8

บทที่5   สรุปผลและการนำไปใช้                                                                                                                    9

เอกสารอ้างอิง                                                                                                                                                13

ภาคผนวก                                                                                                                                                      14

บทที่ 1

บทนำ

ความสำคัญ

       การศึกษาวิธีการทางคณิตศาสตร์เพื่อเป็นพื้นฐานในการคิดอย่างมีระบบและมีเหตุผล เป็นธรรมชาติของคณิตศาสตร์กับธรรมชาติของคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์กับธรรมชาติ หลังวิธีคิดทางคณิตศาสตร์การศึกษาของเราจึงต้องหาวิธีอธิบายสิ่งต่างๆที่เกิดขึ้นเองตามธรรมชาติมากมากคณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญยิ่งต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์ ทำให้มนุษย์มีความคิดสร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ ระเบียบ มีแบบแผน  สามารถวิเคราะห์ปัญหาและสถานการณ์ได้อย่างถี่ถ้วนรอบคอบ ทำให้สามารถคาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจแก้ปัญหาได้อย่างเหมาะสมและถูกต้อง คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือในการศึกษาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ตลอดจนศาสตร์อื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง คณิตศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อการดำรงชีวิต และช่วยพัฒนาคุณภาพชีวิตให้ดีขึ้นนอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังช่วยพัฒนาคนให้เป็นมนุษย์ที่สมบูรณ์  มีความสมดุลทั้งทางร่างกาย จิตใจ สติปัญญา และอารมณ์ สามารถคิดเป็น ทำเป็น แก้ปัญหาเป็น และสามารถอยู่ร่วมกับผู้อื่นได้อย่างมีความสุข

           คณิตศาสตร์เป็นทักษะที่สำคัญที่จำเป็นต้องใช้ในชีวิตประจำวันซึ่งในการดำรงชีวิตใน   แต่ละวันจะต้องมีตัวเลขเข้ามาเกี่ยวข้องอยู่ตลอดเวลาไม่มากก็น้อยธรรมชาติกับคณิตศาสตร์จึงเป็นความสัมพันธ์ที่สามารถอธิบายเป็นหลักการได้มากมาย

หลักการรังนกพิราบ (The pigeonhole principle)

               หลักการรังนกพิราบ (The pigeonhole principle) เป็นการใช้ความจริงในธรรมชาติซึ่งเกี่ยวกับนกพิราบและรังของนกพิราบ โดยกล่าวว่า “ถ้ามีจำนวนนกพิราบมากกว่ารังนกพิราบแล้ว จะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งรัง ที่ทีจำนวนนกพิราบอย่างน้องสองตัว” และหลักการรังนกพิราบนี้ มีชื่อเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “Dirichlet drawer principle” เนื่องจากหลักการนี้ถูกใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชื่อ P.G.L. Dirichlet (1805-1859)  ซึ่งจากหลักการนี้ สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา แหละคาดการเหตุการณ์การต่างๆ ได้ซึ่งจะนำเสนอต่อไปนี้

วัตถุประสงค์ของโครงงาน

1.   เพื่อศึกษาหลักการนกพิราบ

         2.  เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีหลักการนกพิราบ

         3.  เพื่อประยุกต์หลักการและนำไปใช้ในการแก้ปัญหาและสถานการณ์ปัจจุบัน

คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง

         ทฤษฎีนกพิราบ

         การพิสูจน์ทฤษฎี

         การแก้สมการ

         กฎการนับเบื้องต้น

ขั้นตอนการดำเนินการ

      1.  ศึกษาหัวข้อโครงงาน

      2.   ค้นคว้าข้อมูลจากคอมพิวเตอร์ (อินเทอร์เน็ต)

      3.   หาวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีและพิสูจน์ทฤษฎี

      4.   ตรวจสอบปรับปรุงแก้ไขโครงงาน

      5.  สรุป

 ผลที่คาดว่าจะได้รับ

     1.  ได้เรียนรู้แนวคิดทฤษฎีที่ยังไม่เคยศึกษามาก่อน

     2.  ได้ฝึกการใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์ทฤษฎี โดยต้องใช้ความพยายามและพื้นฐานทางคณิตศาสตร์อย่างถูกต้องและแม่นยำ

     3.  ได้นำแนวคิดทฤษฎีรังนกพิราบไปประยุกต์ใช้  ใช้ในการคาดเดา  พยากรณ์แก้ปัญหาต่างๆ ในปัจจุบันและเป็นความรู้พื้นฐานในการเรียนชั้นสูงต่อไป

                                                                        

 บทที่  2

แนวคิดทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง

หลักการรังนกพิราบ (The pigeonhole principle)

              หลักการรังนกพิราบ (The pigeonhole principle) เป็นการใช้ความจริงในธรรมชาติซึ่งเกี่ยวกับนกพิราบและรังของนกพิราบ โดยกล่าวว่า “ถ้ามีจำนวนนกพิราบมากกว่ารังนกพิราบแล้ว จะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งรัง ที่ทีจำนวนนกพิราบอย่างน้องสองตัว” และหลักการรังนกพิราบนี้ มีชื่อเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “Dirichlet drawer principle” เนื่องจากหลักการนี้ถูกใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชื่อ P.G.L. Dirichlet (1805-1859)  ซึ่งจากหลักการนี้ สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหา แหละคาดการเหตุการณ์การต่างๆ ได้ซึ่งจะนำเสนอต่อไปนี้

ทฤษฎีบทที่ 1                            หลักการรังนกพิราบ (The pigeonhole principle)ให้  K € I⁺ถ้ามีนกพิราบอย่างน้อย K+ 1 ตัว บินเข้ารัง K  รัง แล้วมีรังอย่างน้อย  1 รัง ที่มีนกพิราบอย่างน้อย  2 ตัว

พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 1

             จะใช้วิธีการขัดแย้ง (by  contradiction) ในการพิสูจน์ ให้ K € I⁺   มีนกอย่างน้อย  K+1 ตัว บินเข้ารัง K  รัง  สมมติให้  ไม่มีรังนกใดเลยใน K  รัง  ที่มีนกมากกว่า 1 ตัว ดังนั้นรังนกแต่ละรังจะมีนก 1 ตัว หรือไม่มีเลย และมีรังนกทั้งหมด K  รัง  จึงได้ว่าจะมีจำนวนนกทั้งหมดน้อยกว่า 1 ตัวหรือเท่ากับ K  ตัว  (จำนวนทั้งหมด ≤ K ×1 )

             เกิดข้อขัดแย้ง  เพราะมีจำนวนนกอย่างน้อย K+ 1 ตัว เพราะฉะนั้น ถ้ามีนกอย่างน้อย K+ 1 ตัว บินเข้ารัง K  รัง  จะมีรังอย่างน้อย 1 รัง ที่มีนกน้อย 2 ตัว

ทฤษฎีบทที่ 2           หลักการรังนกพิราบในกรณีทั่วไป (The Generalized pigeonhole principle) ให้  N, K € I⁺ ถ้ามีนกพิราบ N ตัว บินเข้ารัง K รัง จะได้ว่าจะมีรังอย่างน้อย  1 รัง ที่มีนกพิราบอย่างน้อย  ตัว

พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 2

                     ใช้วิธีการขัดแย้ง (by  contradiction) ในการพิสูจน์

 ให้ให้  N, K € I⁺ , ถ้ามีนก  N ตัว บินเข้ารัง K รัง สมมติให้ไม่มีรังนกใดที่มีนกอยู่มากกว่า 1 ตัว

     จะได้ว่า  จะมีจำนวนนกทั้งหมดไม่เกิน  K ×  ตัว

     จากคุณสมบัติของ ceiling  function  ที่กล่าวว่า <  X+1

     ดังนั้น  จะได้ว่า   <   + 1

     เพราะฉะนั้น  K  ×   K ×

     เกิดข้อขัดแย้ง  เพราะมีนกอยู่ทั้งหมด N ตัว

บทที่ 3

วิธีดำเนินการ

แนวทางการศึกษาค้นคว้า

                     เนื่องด้วยโครงงานนี้เป็นโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภทการสร้างทฤษฎีหรือการอธิบาย (Thertied Research Project) จึงได้นำเสนอความคิดใหม่ๆ ในการอธิบายเรื่องทฤษฎีรังนกพิราบนี้ โดยใช้หลักการความเป็นเหตุเป็นผลทางคณิตศาสตร์หรือทฤษฎีสนับสนุน ในการทำโครงงาน

จากการพิสูจน์ทฤษฎี

                   จากการพิสูจน์ทฤษฎีดังกล่าวสามารถนำมาช่วยแก้ปัญหาและประยุกต์ใช้ในการหาคำตอบโจทย์ต่างๆ ดังนี้

1)            ในกลุ่มคนที่มี 367 คน จะต้องมีอย่างน้อย 2 คน ที่เกิดวันเดียวกัน เนื่องจากมีวันเกิดที่แตกต่างกันได้ทั้งหมด 366 วัน

2)            ในบรรดาคำต่างๆ ในภาษาอังกฤษ 27 คำ จะต้องมีอย่างน้อย 2 คำ ที่ขึ้นต้นด้วยอักษรตัวเดียวกันเนื่องจากอักษรภาษาอังกฤษมีทั้งหมด 26 ตัว

3)            จงหาว่าจะต้องมีนักเรียนอย่างน้อยเท่าใดในชั้นเรียน จึงจะสามารถอธิบายได้ว่า จะมีนักเรียน 2 คน ที่ได้รับคะแนนเท่ากัน จากการสอบครั้งนี้ คะแนนมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 100 คะแนน

วิธีการหาคำตอบ

              เนื่องจากการมีคะแนนที่เป็นไปได้ทั้งหมด 101 ค่า ดังนั้น จากทฤษฎีบทที่ 1  ของหลักการรังนกพิราบจะได้ว่า ต้องมีนักเรียนอย่างน้อย 101 + 1 = 102 คน จึงจะแน่ใจได้ว่า จะมีจำนวนนักเรียนอย่างน้อย 2 คนที่ได้รับคะแนนเท่ากัน

4)            อยากทราบว่าจะต้องมีคนอย่างน้อยที่สุดกี่คนจึงจะรับประกันได้ว่าจะมีคนเกิดเดือนเดียวกันสามคน และจงพิสูจน์ว่าคำตอบนั้นเป็นจริง

5)            มีจุดห้าจุดอยู่ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละสองหน่วย จงแสดงว่าจะมีจุดสองจุดที่ห่างกันไม่เกินหนึ่งหน่วย

6)             ถ้าให้จุดสิบจุดอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละสามหน่วย จงแสดงว่าจะมีจุด  สองจุดที่ห่างกันไม่เกินหน่วย

7)             ถ้าเรามีจำนวนเต็มบวกที่ต่างกัน n+1 ตัว ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2n จงแสดงว่า ภายในจำนวนนี้จะมีจำนวนคู่หนึ่งที่บวกกันได้ 2n+1

8)             ถ้าเรามีจำนวนเต็มบวกที่ต่างกัน n+1 ตัว ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2n จงแสดงว่าภายในจำนวนนี้จะมีจำนวนคู่หนึ่งที่ตัวหารร่วมมากของสองจำนวนนี้เท่ากับหนึ่ง

การหาคำตอบ

              ข้อ 6) สร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่าด้านละ 1 หน่วย จะได้ 9 รูป ให้ 9 รูปนั้นแทงรัง และ 10 จุดนั้นแทนนก เราจะได้สิ่งที่ต้องการ

              ข้อ 7) สร้างเซตต่อไปนี้ {1,2n},{2,2n¯1},{3,2n¯2},…, {n,n+1}  ให้เซตเหล่านี้ทั้งหมดแทนรัง ให้จำนวนทั้งหมด n+1 แทนนก เราจะได้สิ่งที่ต้องการ

              ข้อ 8) ทำนองเดียวกับข้อ 4 แต่สร้างเซตแบบนี้ค่ะ {1,2},{3,4},{5,6},…, {n,n+1}

 

                     สมมุติว่ามีชาย 25 คนหญิง 25 คนนั่งรอบโต๊ะกลม แสดงว่าต้องมีคนนั่งระหว่างผู้หญิงเสมอ

                                                                          

บทที่ 4

                    ผลการดำเนินงาน

   ผลที่เกิดจากการการพิสูจน์ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้

จากทฤษฎีบทที่ 2 หลักการรังนกพิราบในกรณีทั่วไป (The Generalized Pigeonhole Principle ) ให้

 N , K € I⁺ ถ้ามีนกพิราบ N ตัว บินเข้ารัง K รัง จะได้ว่า จะมีรังนกอย่างน้อย 1 รัง ที่มีนกพิราบอย่างน้อย  ตัว

ตัวอย่างที่ 1

                      ในจำนวนคน 100 คน จะมีอย่างน้อย  = 9 คน ที่เกิดเดือนเดียวกัน เพราะเนื่องจากหนึ่งปีมี 12 เดือน

ตัวอย่างที่ 2

                        จงหาจำนวนนักเรียนที่น้อยที่สุดที่เรียนวิชาคณิตศาสตร์เพื่อให้แน่ใจได้ว่ามีนักเรียนอย่างน้อย 6 คน ที่ได้เกรดเดียวกัน โดยเกรดที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการเรียนวิชานี้ มีอยู่ 5 เกรด คือ A,B,C,D และ F เราพิจารณาว่าเกรดแต่ละเกรดเป็นรังนก ซึ่งมี 5 รัง ( มี 5 เกรด ) และจำนวนนักเรียนเปรียบเป็นจำนวนนกพิราบ โดยให้จำนวนนักเรียนที่เรียนทั้งหมด ให้มีนักเรียนอย่างน้อย 6 คน ที่ได้รับเกรดเดียวกัน เป็น N คน จากทฤษฎีบทที่ 2 ของหลักการรังนกพิราบ จะได้ว่า  = 6 ดังนั้น ค่า N ที่เป็นไปได้ทั้งหมด มีอยู่ 5 ค่า คือ

(5X5) + 1 = 26

(5X5) + 2 = 27

(5X5) + 3 = 28

(5X5) + 4 = 29

(5X5) + 5 = 30

ดังนั้น จะได้ว่า ค่า N ที่น้อยที่สุด คือ 26 คน เพราะฉะนั้น จำนวนนักเรียนที่น้อยที่สุดที่จะทำให้แน่ใจได้ว่าจะมีนักเรียนอย่างน้อย 6 คน ที่ได้เกรดเดียวกัน คือ 26 คน

บทที่ 5

สรุปผลและการนำไปใช้

การนำไปประยุกต์ใช้

                  ต่อไปจะนำหลักการรังนกพิราบ ( The Pigeonhole principle ) ไปประยุกต์ใช้กับปัญหาหนึ่งซึ่งเกี่ยวข้องกับการให้สีกราฟ โดยในที่นี้จะเป็นการพิสูจน์กรณีหนึ่งของการเกิด monochromatic triangle ( กรณี 6 จุด ) ซึ่งเป็นการให้สีเส้นเชื่อม ( edge ) ที่เชื่อมกันระหว่างจุด 2 จุด

ปัญหา

         วาดจุด 6 จุด ลงบนระนาบโดยทุกเส้นเชื่อม ( edge ) ระหว่างจุด 2 จุดจะถูกระบายสีเส้นเป็นสีแดง หรือสีฟ้าอย่างใดอย่างหนึ่ง จงพิสูจน์ว่าจะเกิด monochromatic triangle

หมายเหตุ ;

                 Monochromatic triangle คือสามเหลี่ยมที่มีด้านหรือเส้นเชื่อมมีสีเป็นสีเดียวกันทั้ง 3 เส้นและการเกิด monochromatic triangle จะเกิดขึ้นได้ต้องมีจำนวนจุดอย่างน้อย 6 จุด ถ้ามีจำนวนจุดน้อยกว่า 6 จุดจะไม่เกิด

แนวคิดและการพิสูจน์

            ปัญหานี้ดูผิวเผินแล้วดูเหมือนไม่น่าจะมีส่วนเกี่ยวข้องกับหลักการรังนกพิราบ (The Pigeonhole principle ) ได้เลย แต่ในความเป็นจริงแล้วมันมีความเกี่ยวข้องกันอยู่ ซึ่งสามารถนำมาช่วยในการพิสูจน์ปัญหานี้ได้จะเริ่มด้วยการพิจารณาว่าอะไรคือสิ่งที่แทนจำนวนรังนกและอะไรแทนจำนวนนกพิราบ ซึ่งเริ่มต้นเรายังไม่สามารถระบุลงไปชัดเจนได้ว่า จะใช้อะไรแทนดี  แต่อย่างไรก็ตาม  เราก็ยังพอที่จะคิดหรือรู้ได้ว่า สามเหลี่ยมจะต้องถูกสร้างขึ้นมาจากเส้นเชื่อมระหว่าจุดแน่นอน เนื่องจากจำนวนเส้นเชื่อมทั้งหมดระหว่างจุด 2 จุด ( มีจำนวนจุดอยู่ทั้งหมด 6 จุด ) เท่ากับ  = 15 เส้นเชื่อม

                                            จากหลักการรังนกพิราบ ( ทฤษฎีบทที่ 2 ) โดยเปรียบให้จำนวนเส้นเชื่อม 15 เส้น คือ จำนวนนกพิราบ 15 ตัว และ จำนวนสี คือ จำนวนรังนกพิราบ ( มีอยู่ 2 สี แดงกับฟ้า ) ดังนั้น เราจะได้ว่า จะมีอย่างน้อย  =  8 เส้นเชื่อม ที่ถูกระบายสีเป็นสีเดียวกัน ( เปรียบเหมือนอยู่ในรังนกเดียวกัน ) เราจะเลือกสีมา 1 สี ระหว่างสีแดงกับสีฟ้า สมมุติเป็นสีแดง ( ถ้าเลือกสีฟ้าก็เป็นไปในทำนองเดียวกัน ) แต่หลังจากลองวาดรูปและลองพิจารณาดูแล้วจะเห็นว่าเราไม่สามารถที่จะยืนยันได้ว่าจะเกิดสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นสีแดงได้ ดังรูปที่ 1

รูปที่ 1 ไม่เกิดสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นเชื่อมทั้งแปด

                     

           ดังนั้น การกำหนดรูปแบบในลักษณะแบบนี้ จึงใช้ไม่ได้

                 

      เราจึงต้องมาพิจารณาหารูปแบบใหม่ โดยคราวนี่เราจะพิจารณาโดยเริ่มจากการเน้นไปที่จุดใดจุดหนึ่งใน 6 จุด สมมุติให้เป็นจุด A ( ถ้ากำหนดหรือสมมุติเป็นจุดอื่นก็จะได้ผลออกมาในทำนองเดียวกัน ) ดังนั้นเราได้ว่าจะมีเส้นเชื่อมที่ติดกับ ( incident ) จุด A อยู่ทั้งหมด 5 เส้นเชื่อม ดังรูปที่สอง

                                                       รูปที่สอง : แสดงเส้นเชื่อมทั้ง 5 เส้น ที่ติดกับจุด A 

                 ดังนั้น จากหลักการรังนกพิราบ ( ทฤษฎีบทที่ 2 ) โดยเปรียบให้จำนวนเส้นเชื่อมทั้ง 5 เส้นที่ติดกับจุด A คือจำนวนนกพิราบ 5 ตัว และจำนวนสีคือรังของนกพิราบเราจะได้ว่าจะมีอย่างน้อย  = 3  เส้นเชื่อมที่ติดกับจุด A ถูกระบายเป็นสีเดียวกัน สมมุติให้เป็นสีแดง และให้ด้าน AB , AC, และ 3 เส้นเชื่อนั้น ( ถ้ากำหนดให้เป็นสีฟ้า และเป็น 3 เส้นเชื่อมอื่นโดยเลือกจาก 5 เส้นเชื่อมที่ติดกับจุด A แล้วก็จะได้ผลออกมาในทำนองเดียวกัน )

                   ขั้นต่อมา เราจะแบ่งออกได้ 2 กรณี โดยพิจารณาจากด้าน BC และ BD ดังนี้

1)            ถ้าด้านใดด้านหนึ่งระหว่าง BC,CD และ BD เป็นสีแดงอย่างน้อย 1 ด้านก็จะทำให้เกิดสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้ง 3 เป็นสีแดง ดังรูปที่ 3

 

                                 รูปที่ 3 แสดงกรณีการเกิดสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้ง 3 เป็นเส้นสีเเดง

1)             ถ้าทั้ง 3 เส้นเชื่อม คือ BC,CD และ BD เป็นสีฟ้าทั้ง 3 เส้นก็จะทำให้เกิดสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้ง 3 ด้านเป็นสีฟ้า ดังรูปที่ 4

                                    รูปที่ 3 แสดงกรณีการเกิดสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้ง 3 เป็นเส้นสีแดง จะเห็นได้ว่า จากทั้ง 2 กรณี ก็ล้วนแต่ทำให้เกิดสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามเป็นสีเดียวกันจึงได้ว่า จะมี monochromatic triangle เกิดขึ้น

เอกสารอ้างอิง

สมวงษ์  แปลงประสพโชค  และคณะ. คู่มือการสอนโครงงานคณิตศาสตร์. พิมพ์ครั้งที่ 3

กรุงเทพฯ :  2545.

http//www.mathcenter.net/sermra/sermpra42/sermpra42p04.shtml

ยุพิน  พิพิธกุล  ศ.และคณะ.  101  โครงงานคณิตศาสตร์ (101 Mathematiccal Projects)  กรม

วิชาการ,                กระทรวงศึกษาธิการ.2540

สมวงษ์  แปลงประสพโชค  และคณะ.รวมโครงงานคณิตศาสตร์. Leara and Play MATHGROUP 

มหาวิทยาลัยราชภัฏพระนคร, 2547. 

ภาคผนวก