การพิสูจน์ทฤษฎีและวิธีการหาคำตอบ

จากการพิสูจน์ทฤษฎี

            เนื่องด้วยโครงงานนี้เป็นโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภทการสร้างทฤษฎีหรือการอธิบาย (Thertied Research Project) จึงได้นำเสนอความคิดใหม่ๆ ในการอธิบายเรื่องทฤษฎีรังนกพิราบนี้ โดยใช้หลักการความเป็นเหตุเป็นผลทางคณิตศาสตร์หรือทฤษฎีสนับสนุน ในการทำโครงงาน

ผู้นำโครงงานได้ศึกษาค้นคว้าข้อมูลเพิ่มเติมจากห้องสมุดโรงเรียน อินเทอร์เน็ต และอาจารย์ที่ปรึกษาให้คำแนะนำในการทำโครงงานในครั้งนี้

                   จากการพิสูจน์ทฤษฎีดังกล่าวสามารถนำมาช่วยแก้ปัญหาและประยุกต์ใช้ในการหาคำตอบโจทย์ต่างๆ ดังนี้

1)            ในกลุ่มคนที่มี 367 คน จะต้องมีอย่างน้อย 2 คน ที่เกิดวันเดียวกัน เนื่องจากมีวันเกิดที่แตกต่างกันได้ทั้งหมด 366 วัน

2)            ในบรรดาคำต่างๆ ในภาษาอังกฤษ 27 คำ จะต้องมีอย่างน้อย 2 คำ ที่ขึ้นต้นด้วยอักษรตัวเดียวกันเนื่องจากอักษรภาษาอังกฤษมีทั้งหมด 26 ตัว

3)            จงหาว่าจะต้องมีนักเรียนอย่างน้อยเท่าใดในชั้นเรียน จึงจะสามารถอธิบายได้ว่า จะมีนักเรียน 2 คน ที่ได้รับคะแนนเท่ากัน จากการสอบครั้งนี้ คะแนนมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 100 คะแนน

วิธีการหาคำตอบ

              เนื่องจากการมีคะแนนที่เป็นไปได้ทั้งหมด 101 ค่า ดังนั้น จากทฤษฎีบทที่ 1  ของหลักการรังนกพิราบจะได้ว่า ต้องมีนักเรียนอย่างน้อย 101 + 1 = 102 คน จึงจะแน่ใจได้ว่า จะมีจำนวนนักเรียนอย่างน้อย 2 คนที่ได้รับคะแนนเท่ากัน

4)            อยากทราบว่าจะต้องมีคนอย่างน้อยที่สุดกี่คนจึงจะรับประกันได้ว่าจะมีคนเกิดเดือนเดียวกันสามคน และจงพิสูจน์ว่าคำตอบนั้นเป็นจริง

5)            มีจุดห้าจุดอยู่ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละสองหน่วย จงแสดงว่าจะมีจุดสองจุดที่ห่างกันไม่เกินหนึ่งหน่วย

6)            ถ้าให้จุดสิบจุดอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละสามหน่วย จงแสดงว่าจะมีจุดสองจุดที่ห่างกันไม่เกินหน่วย

7)            ถ้าเรามีจำนวนเต็มบวกที่ต่างกัน n+1 ตัว ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2n จงแสดงว่าภายในจำนวนนี้จะมีจำนวนคู่หนึ่งที่บวกกันได้ 2n+1

8)            ถ้าเรามีจำนวนเต็มบวกที่ต่างกัน n+1 ตัว ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2n จงแสดงว่าภายในจำนวนนี้จะมีจำนวนคู่หนึ่งที่ตัวหารร่วมมากของสองจำนวนนี้เท่ากับหนึ่ง

การหาคำตอบ

              ข้อ 6) สร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่าด้านละ 1 หน่วย จะได้ 9 รูป ให้ 9 รูปนั้นแทงรัง และ 10 จุดนั้นแทนนก เราจะได้สิ่งที่ต้องการ

              ข้อ 7) สร้างเซตต่อไปนี้ {1,2n},{2,2n¯1},{3,2n¯2},…, {n,n+1}  ให้เซตเหล่านี้ทั้งหมดแทนรัง ให้จำนวนทั้งหมด n+1 แทนนก เราจะได้สิ่งที่ต้องการ

              ข้อ 8) ทำนองเดียวกับข้อ 4 แต่สร้างเซตแบบนี้ค่ะ {1,2},{3,4},{5,6},…, {n,n+1}